课程号： 00132321
课程名称：高等代数 I
开课学期：秋
学分： 5
先修课程：无
基本目的：
- 使学生熟练掌握线性代数的坐标-矩阵方法，首先让学生做到敢算、会算，巧算，学习基于概念的命题，定理的表述和严格证明；
- 理解矩阵如何应用于数学问题的研究，方程组的求解对应于矩阵的相抵分类，二次型的分类对于矩阵的合同分类，矩阵作为映射的分类对应于矩阵的相似。
内容提要：下面打*部分为选学内容
一、引言与预备知识（6学时）
回顾中学的代数知识，引入高等代数研究的问题，多元线性方程组的求解，一元高次方程的求解，多元二次方程的分类；
自然数的最小数公理和数学归纳法，通过对有理数域，实数域，复数域的回顾定义一般数域；
通过二元和三元一次方程组的消元法， 引入一般线性方程组求解的Gauss-Jordan消元算法。
二、向量空间与矩阵（16学时）
n维向量空间，向量组的线性相关与线性无关，极大线性无关组与秩，矩阵的秩，线性方程组理论，矩阵运算，方阵，初等矩阵，逆矩阵，分块矩阵。
三、行列式（8学时）
n阶行列式的定义，行列式的性质，行列式的应用（Cramer法则、矩阵的秩与子式的关系），行列式的完全展开，Laplace展开式与Binet-Cauchy公式。
四、实向量空间（4学时）
实向量空间的内积，标准正交基， 向量组的施密特正交化， 向量到子空间的正交投影， Gauss最小二乘法
五， 矩阵的分类（10学时）
把矩阵的运算解释成向量空间的映射，通过映射表述线性方程组的求解理论，通过相抵标准型，矩阵的广义逆表示方程组的求解。
矩阵的相似，矩阵的特征值，特征向量，特征多项式，特征子空间；矩阵的对角化和判别；实对称矩阵的正交对角化。
六、二次型和它的分类（16学时）
二次型的定义，二次型的等价与标准型，二次型的矩阵与对称矩阵的合同， Witt定理。
实二次型的合同分类，正交合同分类。
正定二次型，实向量空间的内积， (半)正定矩阵和实矩阵的奇异值分解。
教学方式：每周授课4+2学时
教材与参考书：
1．tyc234cc 太阳成集团数学力学系几何与代数教研室代数小组：高等代数，高等教育出版社，1984（第6次印刷）。
2．蓝以中：高等代数简明教程（上册），tyc234cc 太阳成集团出版社，2003（第2次印刷）。
3．丘维声：高等代数（第二版）上册，高等教育出版社，2002年。
学生成绩评定方法：作业10-15％，期中考试30-45％，期末考试40-60％。
课程修订负责人：田青春
